3º CONJUNTOS
Se entiende por conjunto un grupo de entes con una o más
características comunes. Los conjuntos están formados por elementos; de esta
forma, un conjunto estará bien definido si es posible conocer todos sus
elementos.
Ejemplo: El conjunto de
las vocales esta formado por los elementos a, e, i, o, u, todos los cuales
poseen la característica común de ser vocales y sólo ellos.
Se
suelen representar los conjuntos por letras mayúsculas del abecedario tales
como: A, B, C... y los elementos del conjunto se designan normalmente por sus
nombres o por letras minúsculas: a, b, c,...
Ejemplo: El conjunto de los días de la semana puede
denominarse S y sus elementos serán: “lunes”, “martes”, “miércoles”, “jueves”,
“viernes, “sábado” y “domingo”.
Se acostumbra a cerrar entre llaves { } a los elementos del
conjunto y disponer los elementos separados por comas. Así, el conjunto de los
días de la semana con estas notaciones se escribiría del siguiente modo:
S = {lunes, martes,
miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo
Y el conjunto de las vocales se escribiría así:
V = {a, e, i, o, u}.
Con
el fin de hacer mas accesibles ciertas definiciones y demostraciones se utiliza
a menudo para la representación de conjuntos un recinto limitado por una línea
cerrada, en cuyo interior se contienen los elementos del conjunto representado
por puntos. A un diagrama de este tipo se le denomina diagrama de Venn.
La teoría de conjuntos se ha mostrado como el punto de partida por
medio del cual se puede organizar toda la matemática más abstractamente y con
más rigor.
Ejemplo: El conjunto de las vocales
V = {a, e, i, o, u}
puede representarse
mediante un diagrama de este tipo, del siguiente modo:
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El desarrollo de muchas de las ideas relativas a los conjuntos se atribuye a dos matemáticos
George Boole (1815-1864) y Georg Cantor (1845-1918).
Cantor es considerado el fundador de la teoría de los conjuntos. En honor de Boole, primero en introducir muchas de las ideas de los conjuntos, el álgebra de los
conjuntos recibe con frecuencia el nombre de álgebra booleana.
Un conjunto puede definirse de dos maneras:
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Algunos
ejemplos de conjuntos bien definidos:
1.
Los puntos de un círculo de centro O y de radio r.
3.
Los colores del arco iris.
4.
Los números pares.
5.
Los números enteros menores de 10.
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a) Por
extensión, es decir,
enumerando uno a uno todos los elementos del conjunto.
Ejemplo: Si el conjunto A esta formado por los elementos a,
b, c y d, para definir este conjunto por extensión, se procedería del siguiente
modo:
A = {a, b, c, d}.
Cuando el conjunto sólo contiene un elemento se denomina conjunto unitario.
Ejemplo: Si el conjunto Z está sólo formado por la letra e:
Z = {e}
dicho conjunto Z
es un conjunto unitario. No debe confundirse el elemento e con el conjunto Z.
El conjunto de las vocales (V) se define por extensión de la
siguiente forma: V= {a, e, i, o, u}.
b) Por comprensión: es decir, citando
únicamente la propiedad o propiedades que caracterizan a todos los elementos
del conjunto. Ejemplo 1: El conjunto A formado por los elementos a, b, c, d
podría definirse por comprensión de la siguiente forma:
A = {las cuatro
primeras letras del alfabeto}
Esta forma de definición (por comprensión) se utiliza
preferentemente cuando no es posible o no resulta cómodo explicitar uno a uno
todos los elementos de un conjunto. Ejemplo 2: En el caso del conjunto de los
animales reptiles no resulta práctico enumerar todos los elementos del
conjunto, por lo que se utilizara la definición por comprensión.
Si denominamos R al conjunto de los reptiles, dicho
conjunto puede definirse del siguiente modo:
R = {animales reptiles}
En estos casos se utiliza, con el fin de resaltar el hecho
de que todo conjunto está formado por una serie de elementos, la siguiente
notación:
R = {x/x es un
reptil}
que se lee del siguiente modo: R es el conjunto formado por
los elementos x tales que x es un reptil; es decir, que representamos
genéricamente a los elementos del conjunto por la letra x. El símbolo /
significa “tal que” o “tales que”.
El físico alemán Georg Cantor, nació en San Petersburgo
(1845-1918), estudió en Zurich, Berlín y Götingen y recibió el título de doctor
en la universidad de Halle, en la que obtuvo la cátedra de Matemáticas.Los primeros trabajos que publicó sobre la teoría positiva del infinito provocaron una verdadera revolución.
Siguió trabajando en el tema hasta crear una aritmética de los números infinitos y su célebre teoría de los conjuntos, que ha servido de base para el análisis moderno.
Nota: Observemos que la definición de un conjunto
por extensión o por comprensión es una manera de eludir una autentica
definición. De hecho, un conjunto no es definible. Ciertas nociones como
conjunto, elemento y pertenencia, son conceptos intuitivos que, una vez
aceptados, sirven de base para la nueva teoría matemática. Hay que tomarlas
como verdades axiomáticas y poder proceder así al desarrollo de la matemática moderna,
de igual modo que, en la geometría euclidiana, se parte de axiomas que permiten
construir la geometría tradicional.
El conjunto de las vocales definido por comprensión sería V = {las
vocales}.|
CONJUNTOS
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1.
¿Qué se entiende por un conjunto? 2. Cita las dos formas de definir un conjunto. |
Relación de pertenencia
Se trata de una relación elemento-conjunto. Cuando se
quiera expresar que un elemento pertenece a un determinado conjunto se utiliza
el símbolo Î que significa “pertenece a”.
Ejemplo 1: a Î V quiere
decir que el elemento a pertenece al conjunto V.
Si, por el contrario, se desea expresar que un elemento no
pertenece a un determinado conjunto se usa el símbolo Ï que significa “no pertenece a”.
Ejemplo 2: Si V representa el conjunto de las vocales y se
quiere expresar que la letra x no pertenece a dicho conjunto, dicha
circunstancia se expresa así: x Ï V.
Relación de inclusión
Es una relación
conjunto-conjunto. Se dice que un conjunto A esta incluido o contenido
en otro B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.
Si se quiere expresar que un conjunto esta contenido en
otro, se usa el símbolo Ì que significa
“está contenido en”. Así, para indicar que un conjunto A está incluido o
contenido en otro B se hará del siguiente modo: A Ì B; que se lee “A está contenido en B”, o bien “A está
incluido en B”, o bien “B incluye a A”.
Si, por ejemplo, consideramos los conjuntos A = {a, b, c} y
B = {a, b, c, d, e}, se cumple que todos los elementos de A pertenecen también
a B y por tanto puede decirse que A Ì B.
Representando ambos conjuntos mediante diagramas de Venn sería:
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Si se quiere indicar que un conjunto A no está incluido en otro B, se usa el símbolo Ë que quiere decir “no está contenido en”.
Ejemplo: Sean:
A = {1, 2, 3} y B = {2,
3, 4, 5}
Dado que no todos los elementos del conjunto A pertenecen
al conjunto B se cumple que el conjunto A no está contenido en el B, lo cual se
expresa del siguiente modo:
A Ë B
Haciendo la representación de estos dos conjuntos por
diagramas de Venn, se tendría:
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En resumen A Ì B significa “A está contenido en B” o bien “B contiene a
A”.
A Ë B significa “A no
está contenido en B” o bien “B no incluye a A”.
Las relaciones
de inclusión deben entenderse como totalmente distintas de la relación de
pertenencias, representada por Î.Por ejemplo, {2} Ì {2, 3}, y también {3} Ì {2, 3}, pero no es cierto que {2} Î {2, 3}, sino 2 Î {2, 3}.
El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto A, pero en general no es elemento de A.
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RELACIONES
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1. ¿Qué es una relación de pertenencia?
2. ¿Qué es un conjunto universal o referencial? |
Dados dos conjuntos A y
B se dice que A es subconjunto de B si A está contenido en B (A Ì B), es decir, si todos los elementos de A pertenecen
también a B.
Dados los conjuntos:
A = {1, 2, 3}
y
B = {1, 2, 3, 5, 8}
y
B = {1, 2, 3, 5, 8}
puesto que todos los
elementos de A pertenecen también a B, se puede decir que A está contenido en
B, es decir, que A es un subconjunto de B.
Véase la representación gráfica mediante diagramas de Venn.
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Se cumple que A Ì B, luego A
es un subconjunto de B.
Nota. Se llama conjunto universal o referencial “E”
a un conjunto, de cuyos elementos se escogen algunos de ellos para formar otros
conjuntos.
El conjunto de los números naturales (N) es un conjunto
universal o referencial, pues de él pueden extraerse elementos que a su vez
conforman otros conjuntos; así, los conjuntos A, B, C que se citan a
continuación están formados, todos ellos, por elementos pertenecientes al
conjunto N de los números naturales:
A = {2, 3, 4}
B = {8, 9, 10, 20}
C = {46, 48, 49, 52}
B = {8, 9, 10, 20}
C = {46, 48, 49, 52}
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Ciertas letras están reservadas
en matemáticas para designar siempre a determinados conjuntos de números.
Así, N es el conjunto de los números naturales (enteros positivos), Z el de
los enteros (positivos, negativos y cero), Q el de los racionales (enteros y
fraccionarios) y R el de los reales (racionales e irracionales). Fuera de
estos contextos, estas letras pueden designar a cualquier conjunto dado.
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Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si se cumple
que todos los elementos del primer conjunto lo son también del segundo (A Ì B) y viceversa (B Ì A). Es decir, si ambos están formados por los mismos
elementos; como se ha visto por la definición, en este caso A Ì B y B Ì A.
ejemplo: los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3} son
iguales porque todos los elementos de A pertenecen también a B y todos los de B
pertenecen también a A.
Por el contrario, los conjuntos A={a,
b, c, d} y V={a, e, i, o, u} no son iguales. A ¹ B, ya que no están formados por los mismos elementos
aunque tienen uno en común. El símbolo ¹ significa “distinto de” o “desigual”. |
Aunque
las relaciones de igualdad e identidad son en general distintas (por ejemplo,
1 + 3 = 4, pero 1 + 3 sólo es idéntico a 1 + 3 no a 4),en el caso de los
conjuntos coinciden; es decir, dos conjuntos son iguales si y solo si tienen
exactamente los mismos elementos, esto es, si son idénticos.
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Un conjunto y su complementario
son siempre ajenos o disjuntos, y la unión de un conjunto y su complementario
es el universo o conjunto universal.
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Se entiende por conjunto complementario de un conjunto A
con respecto a otro B al conjunto formando por todos los elementos de B que no
pertenecen a A.
Para expresar dicho conjunto complementario se utilizan
distintos símbolos que son:
A A’ CBA
Todos ellos son equivalentes y quieren decir “conjunto
complementario de A”. Nótese que en la tercera forma se indica también con
respecto a qué conjunto es complementario el conjunto en cuestión.
Ejemplo 1: Dados los conjuntos A= {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3,
5, 8} el conjunto complementario de A con respecto a B esta formado por los
elementos de B que no pertenecen a A; es decir, {5} y {8}.
Utilizando la simbología antes mencionada, si bien una de
las tres expresiones basta, se tendría:
A = A’ = CBA = {5, 8}
La representación gráfica mediante diagramas de Venn sería: (ver cuadro) donde
la parte oscura corresponde al conjunto complementario de A con respecto a B.
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Ejemplo 2: Sea L el conjunto de todas las letras, C el
conjunto de las consonantes y V el de las vocales. Se verifica que:
CLC=V
De haber utilizado cualquiera de las otras dos notaciones
posibles:
C =V
o bien
C’ = V
observemos que no hubiésemos señalado con respecto a qué
conjunto se halla el complementario.
Se
sobreentiende siempre que es con respecto a E (conjunto universal o
referencial) que, en este ejemplo, es L (conjunto de todas las letras).
Para hallar el complementario de una expresión formada de
conjuntos ligados por unión (È), intersección (Ç)
y el signo prima (’) indicador de complementario, basta con cambiar entre si
los È y Ç,
suprimir la prima en las letras que la tengan y ponerla en las que carezcan de
ellas. Así, el conjunto complementario de (A’ È B) Ç (C È D’) es, según esta regla,
(A Ç B’) È (C’ Ç D)..
Es
un conjunto límite. Se denomina conjunto vacío a aquel que no tiene ningún
elemento. Se representa mediante el símbolo Ø.
Ejemplo 1: El conjunto de los elementos que son pares e impares a la vez es un
conjunto vacío, puesto que no existe ningún elemento que cumpla a la vez ambas
propiedades.
Ejemplo 2: Conjunto de hombres alados.
El conjunto de los números menores de 5 y al mismo tiempo mayores
de 10 es un conjunto vacío, ya que no existe ningún número que lo cumpla.
También lo es el conjunto de los insectos que no posean patas.
Se
entiende por conjunto de las partes de un conjunto, y se representa por la
letra P seguida de la consonante entre paréntesis que designe al conjunto de
las partes, al conjunto formado por todos los posibles subconjuntos que se
pueden formar a partir de los elementos del conjunto dado.
Ejemplo: Dado el conjunto:
C = {a, b, c}
el
conjunto de las partes P(C) del conjunto C será el siguiente:
P(C) = {{Ø}, {a}, {b},
{c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Nótese que los elementos del conjunto P(C) son todos los posibles subconjuntos
del conjunto C.
El número de elementos del conjunto de las partes de un conjunto
P(C) se puede averiguar con una sencilla operación: 2n, siendo n el número de
elementos del conjunto C. Así, el numero de elementos del conjunto de las
partes P(C) del conjunto C = {a, b, c} será 23 = 8, es decir, se
pueden formar 8 subconjuntos, incluidos {ø} y {a, b, c} a partir del conjunto C.Como el número de elementos de un conjunto infinito es ilimitado, también es ilimitado el numero de subconjuntos que pueden formarse en ese conjunto universal. Esto se demuestra fácilmente considerando tan solo a aquellos subconjuntos constituidos por un elemento. Por ejemplo, tómese el conjunto de todos los números naturales {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. Algunos de los subconjuntos son: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, y así sucesivamente. Cada uno de estos subconjuntos tienen tan solo un elemento, y el número de subconjuntos es ilimitado.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN DE CONJUNTOS
Dados los conjuntos A y B,
se llama conjunto unión È al conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Ejemplo: Sean los conjuntos
A = {a, b, c, d, e} y B = {d, e, f, g}; se cumple que:
A È B = {a, b, c, d, e, f,
g}
Representándolo
gráficamente por diagramas de Venn, se tendría:
El conjunto A È B estaría formado por todos los elementos del
área oscura.
Los elementos d, e que
pertenecen a los dos conjuntos no se han repetido porque no tiene sentido
repetir los elementos dentro de un conjunto.
A la unión de conjuntos también se le denomina reunión.|
Estas
dos operaciones, unión e intersección, junto con la de buscar el complemento,
son las tres operaciones fundamentales del álgebra de conjuntos.
Cuando
deban realizarse varias de ellas, se encierra entre paréntesis la que debe
efectuarse en primer lugar.
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INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Dados los conjuntos A y B, se llama conjunto intersección Ç al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
a A y a B, es decir, que son comunes a los dos conjuntos.
Ejemplo: Sean A y B los dos conjuntos del ejemplo anterior; es decir:
A = {a, b, c, d, e} y B
= {d, e, f, g}.
El
conjunto intersección de A Ç B será:
A Ç B = {d, e}
ya
que únicamente los elementos d y e son comunes a los dos conjuntos.
Representándolo gráficamente mediante diagramas de Venn, se tendría:
El
conjunto A > B estará formado por los elementos que aparecen en el área
oscura.
Si reemplazamos las operaciones È y Ç por
"más" y "por", respectivamente, podremos observar cómo
estas leyes de la unión y la intersección citadas en el texto, se corresponden
con las de la aritmética ordinaria, a excepción de la ley de idempotencia y la
segunda ley distributiva.
PROPIEDADES DE LA UNIÓN
Y LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Y LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
En
los apartados anteriores, se ha definido la unión e intersección de dos
conjuntos, pero en la práctica es corriente trabajar con más de dos conjuntos y
tener que calcular expresiones como la siguiente:
A È [(B Ç C) È D]
por lo que resulta
necesario estudiar las propiedades generales por las que se rigen los cálculos
en teoría de conjunto.
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Por
efecto combinado de las leyes asociativa, conmutativa e idempotente, resulta
que la intersección (o la unión) de un número finito de conjuntos (iguales o
distintos) depende sólo de la clase de los conjuntos que intervienen, pero no
del orden en que se les relacione, ni del número de veces que un conjunto
esté repetido. Así, A Ç B Ç
C Ç
C Ç
A = A Ç B Ç C.
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1.ª) Asociativa
A È (B È C) = (A È B) È C
A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
2.ª) Conmutativa
A
È B = B È A
A
Ç B = B Ç A
3.ª) Equipotente o
Idempotente
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Obsérvese
que se necesita un par de conjuntos para realizar las operaciones de unión e
intersección. En consecuencia, la unión y la intersección son operaciones
binarias.
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A È A = A
A Ç A = A
4.ª) Simplificativa o
de absorción
A È (B Ç A) = A
A Ç (B È A) = A
5.ª) Distributiva de la
unión con respecto a la intersección
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La
unión y la intersección de dos conjuntos satisface las igualdades
A Ç (A È B) = A A Ç (A È B) = A, para todo A. Es la llamada ley de absorción. |
A È (B È C) = (A È B) Ç (A È C)
y de la
intersección con respecto a la unión
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
Las
propiedades del apartado anterior se comprueban fácilmente eligiendo unos
conjuntos cualesquiera y representando gráficamente, mediante diagramas de
Venn, las operaciones que figuran a uno u otro lado del signo igual, es decir,
en los dos miembros de la igualdad. Estas demostraciones se desarrollan con
detalle a continuación para el caso de la unión y de la intersección.
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CONJUNTOS
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1. ¿A qué se denomina conjunto vacío?
2. ¿A qué se llama conjunto de intersección? |
DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama diferencia A–B entre A y B al
conjunto formado por los elementos de A que no pertenezcan a B, es decir:
A–B={x/xÎA Ù xÏ B}
Nota. Como ya se dijo, el símbolo Ù significa “y”, con lo que la expresión anterior se lee:
“A–B es el conjunto de los elementos x tales que pertenecen a A y no pertenecen
a B”.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 8, 10}
Entonces el conjunto A – B será:
A – B = {1 , 2, 3}
ya que los elementos 1,
2, y 3 son los únicos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen a B.
Representando gráficamente el conjunto diferencia mediante diagramas de Venn,
se tiene:
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Con
respecto a la diferencia de dos conjuntos conviene recordar lo dicho
anteriormente sobre el conjunto referencial E, de modo que en la operación A
- B no sólo se estarán desestimando los elementos de B, pertenezcan o no a A,
sino también todos aquellos elementos del referencial E que no pertenezcan ni
a A ni a B.
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SUMA BOOLEANA O DIFERENCIA
SIMÉTRICA DE DOS CONJUNTOS D
SIMÉTRICA DE DOS CONJUNTOS D
Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama suma booleana o diferencia
simétrica de los mismos, A D B, al conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A o a B y que no pertenecen a la
intersección de A y B.
Se puede considerar al matemático George Boole como uno de los
promotores de la lógica matemática contemporánea. En su obra Investigación de las leyes del pensamiento, ensayó la aplicación del cálculo lógico a la teoría de las probabilidades.
Defendía la representación simbólica de las ideas y la casi mecanicidad del raciocinio.
Realizó también estudios sobre las ecuaciones diferenciales y el cálculo de las diferencias finitas.
Una
representación gráfica de la suma booleana o diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B mediante diagramas de Venn está representada en la gráfica
siguiente, en el que la parte oscura corresponde al conjunto A D B.
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Ejemplo: Dados las conjuntos A y B, siendo A = {1, 2, 3, 6, 8} y B = {2, 3, 7}, se verifica que:
A – B = {1, 6, 8}
ya que éstos son los
únicos elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B. En
la representación gráfica, A – B se corresponde con la zona oscura:
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Comprobamos también
que:
A D B = {1, 6, 8, 7}
ya que son éstos los
únicos elementos que pertenecen a A o a B pero que no pertenecen a la
intersección de A y B.
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La zona oscura
corresponde a A D B.
Tomemos los subconjuntos A = {las catorce primeras letras del
alfabeto} y B = {las catorce últimas letras del alfabeto} del conjunto alfabeto
= {a, b, c, ch, d, e, f, g, h, i, j, k, l, ll, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v,
x, y z}; la suma booleana o diferencia simétrica de estos dos conjuntos A y B
(B
D A) será pues, el conjunto de todas las letras del alfabeto..
CONJUNTOS DISJUNTOS
Se
dice que dos conjuntos A y B, cualesquiera, son disjuntos cuando no tienen
ningún elemento en común.
Ejemplo: Sean A
y B los conjuntos siguientes:
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Son
ejemplos de conjuntos disjuntos, el conjunto A de los números naturales, y el
conjunto de las letras del alfabeto; el conjunto de los números pares y el
conjunto de los números impares; el conjunto H de los hombres mayores de 25 años
y el conjunto Y de las capitales europeas.
La
característica que se establece entre estos pares de conjuntos es la de no
poseer ningún elemento en común, y por tanto la unión o la intersección de
tales conjuntos será siempre conjunto vacío (ø).
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A = {a, b} y B = {c, d}
Estos dos conjuntos, dado que no poseen elemento alguno en común, se denominan
conjuntos disjuntos. En este caso, por ser conjuntos disjuntos A Ç B = Ø, la intersección de los conjuntos A y B es un
conjunto vacío y la unión de A y B (A È B) coincide con la suma.
PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
Una
partición de un conjunto dado A está formada por una serie de subconjuntos A1,
A2, A3, etc., que han de cumplir las siguientes
propiedades:
1.º)
Que los subconjuntos que forman la partición sean disjuntos entre sí.
2.º)
Que la unión de todos los subconjuntos sea igual al conjunto dado:
A1
È A2 È A3 = A
3.º) Que ningún subconjunto sea vacío:
A1 ¹ Ø
A2 ¹ Ø
A3 ¹ Ø
A2 ¹ Ø
A3 ¹ Ø
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Son
ejemplos de conjuntos disjuntos, el conjunto A de los números naturales, y el
conjunto de las letras del alfabeto; el conjunto de los números pares y el
conjunto de los números impares; el conjunto H de los hombres mayores de 25
años y el conjunto Y de las capitales europeas.
La
característica que se establece entre estos pares de conjuntos es la de no
poseer ningún elemento en común, y por tanto la unión o la intersección de
tales conjuntos será siempre conjunto vacío (ø).
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El símbolo ¹ significa “distinto de”.
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DIFERENCIAS
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1. ¿A qué se llama "suma booleana"?
2. ¿Cuándo dos conjuntos se denominan disjuntos? |
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